Ako zistíte funkciu polynómu s koreňmi 1, 7 a -3 multiplicity 2?

odpoveď:

# F (x) = 2 (x-1), (X-7), (x + 3) = 2x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21 #

vysvetlenie:

Ak sú korene 1,7, -3, potom vo faktickej forme bude polynomická funkcia:

# F (x) = A (x-1), (X-7), (x + 3) #

Zopakujte korene, aby ste získali požadovanú multiplicitu:

# F (x) = (x-1), (X-7), (x + 3) (x-1), (X-7), (x + 3) #

odpoveď:

Najjednoduchší polynóm s koreňmi #1#, #7# a #-3#, každý s multiplicitou #2# je:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = X ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

vysvetlenie:

Akýkoľvek polynóm s týmito koreňmi s aspoň týmito multiplicitami bude násobkom # F (x) #, kde…

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (X ^ 3-5x ^ 2-17x + 21) ^ 2 #

# = X ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… aspoň si myslím, že som to správne rozmnožil.

Skontrolujme to # F (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

Polynóm stupňa 4, P (x) má koreň multiplicity 2 pri x = 3 a korene multiplicity 1 pri x = 0 a x = -3. Prechádza bodom (5112). Ako zistíte vzorec pre P (x)?

Polynóm stupňa 4 bude mať koreňový tvar: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Nahradí hodnoty pre korene a potom použije bod na vyhľadanie hodnoty k. Nahraďte hodnoty koreňov: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Použite bod (5,112) na nájdenie hodnoty k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8) k = 7/10 Koreň z polynómu je: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Polynóm stupňa 5, P (x) má vedúci koeficient 1, má korene multiplicity 2 pri x = 1 a x = 0 a koreň multiplicity 1 pri x = -3, ako zistíte možný vzorec pre P (X)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Každý koreň zodpovedá lineárnemu faktoru, takže môžeme zapísať: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Akýkoľvek polynóm s týmito nulami a aspoň tieto multiplicity bude násobok (skalárny alebo polynóm) tohto P (x) Poznámka pod čiarou Striktne povedané, hodnota x, ktorá má za následok P (x) = 0, sa nazýva koreň P (x) = 0 alebo nula P (x). Takže otázka by mala skutočne hovoriť o nulách P (x) alebo o koreňoch P (x) = 0.

Polynóm stupňa 5, P (x) má vedúci koeficient 1, má korene multiplicity 2 pri x = 1 a x = 0 a koreň multiplicity 1 pri x = -1 Nájdite možný vzorec pre P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vzhľadom na to, že máme koreň multiplicity 2 pri x = 1, vieme, že P (x) má faktor (x-1) ^ 2 Vzhľadom k tomu, že máme koreň multiplicity 2 pri x = 0, vieme, že P (x) má faktor x ^ 2 Vzhľadom k tomu, že máme koreň multiplicity 1 pri x = -1, vieme, že P (x) má faktor x + 1 Dáme sa, že P (x) je polynóm stupňa 5, a preto sme identifikovali všetkých päť koreňov a faktorov, takže môžeme písať P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 A preto môžeme písať P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vieme tiež, že koeficient pre vedenie je