odpoveď:
Odpoveď nájdete nižšie
vysvetlenie:
pre # X = 0 # máme
# F (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Zvažujeme novú funkciu #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X## V ## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X## V ## RR #
Ako výsledok # G # sa zvyšuje v # RR #, Tak, pretože sa prísne zvyšuje # G # je "#1-1#" (jeden na jedného)
takže, # F (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># # F (0) = 0 #
Musíme to ukázať # X / 2 <## F (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<## F (x) / x <## F '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <## F '(x) #
- # F # je nepretržitá na # 0, x #
- # F # je diferencovateľný v # (0, x) #
Podľa priemernej hodnoty je veta # # X_0# V ## (0, x) #
pre ktoré # F '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
# F (x) -e ^ (- f (x)) = X-1 #, #X## V ## RR # tak
diferencovaním oboch častí sa dostaneme
# F '(x) -e ^ (- f (x)), (- f (x))' = 1 # #<=># # F '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
# F '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
# F '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Funkcia # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # je diferencovateľný. Ako výsledok # F '# je diferencovateľný a # F # je 2 krát diferencovateľné s
# F '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ") / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X## V ## RR #
-> # F '# sa prísne zvyšuje v # RR # čo znamená
# # X_0# V ## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <##X# #<=>#
# F '(0) <## F '(x_0) <## F '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<## F (x) / x <## F '(x) # #<=>#
#1/2<## F (x) / x <## F '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <## F (x) <##xf '(x) #
