Voda vytečie z obrátenej kužeľovej nádrže rýchlosťou 10 000 cm3 / min a súčasne sa voda čerpá do nádrže konštantnou rýchlosťou. Ak má nádrž výšku 6 m a priemer v hornej časti je 4 m a ak hladina vody stúpa rýchlosťou 20 cm / min, keď je výška vody 2 m, ako zistíte rýchlosť, ktorou sa voda čerpá do nádrže?

nechať # V # je objem vody v nádrži v # Cm ^ 3 #; nechať # # H je hĺbka / výška vody v cm; a nechať # R # je polomer povrchu vody (na vrchole) v cm. Pretože nádrž je obrátený kužeľ, tak je hmotnosť vody. Vzhľadom k tomu, že nádrž má výšku 6 ma polomer v hornej časti 2 m, znamená to podobné trojuholníky # Frac {h} {R} = frac {6} {2} = 3 # tak # H = 3r #.

Objem prevráteného kužeľa vody je potom # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Teraz rozlišujte obe strany s ohľadom na čas # T # (v minútach) # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cd frac {dr} {dt} # (v tomto kroku sa používa pravidlo reťazca).

ak #V_ {i} # je objem vody, ktorá bola čerpaná, potom # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 piot (frac {200} {3}) ^ {2} cd 20 # (keď je výška / hĺbka vody 2 metre, polomer vody je # Frac {200} {3} # cm).

teda # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 približne 847758 frac {mbox {cm} ^ 3} {min} #.