Aký je rozsah funkcie f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

odpoveď:

Rozsah je 1, # # Oo)

vysvetlenie:

Pri prvom pohľade na tento problém by som sa zameral na doménu. Výsledkom x pod druhou odmocninou je zvyčajne obmedzená doména. To je dôležité, pretože ak body neexistujú v doméne, potom sa musíme uistiť, že ich nezahrneme ani do rozsahu!

Doména pre doménu # F (x) # je (-# # Oo, -#sqrt (1/2) #)# # UU(#sqrt (1/2) #, # # Oo), as # 2x ^ 2 -1 # nemôže byť menší ako #0# alebo výsledné číslo bude imaginárne.

Teraz sa musíme pozrieť na koncové správanie, aby sme zistili, kam smeruje funkcia # # Oo a -# # Oo pre #X#, Pri pohľade na koncové správanie môžeme ignorovať menšie detaily, ktoré neovplyvňujú celkový tvar funkcie. Pri popise koncového správania sa funkcia #G (x) # sa zvyčajne používa.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

A 'zástrčku' negatívne a pozitívne nekonečno

g (-# # Oo) = # 5 ^ | -OO | #

g (# # -OO) = # # Oo

g (# # Oo) = # 5 ^ | oo | #

g (# # Oo) = # # Oo

# F (x) # smerom k pozitívnemu nekonečnu

Teraz musíme nájsť minimum, ktoré je funkcia. Majte na pamäti, že # F (x) # nie je kontinuálna, ako sme demonštrovali v jej obmedzenej doméne.

od tej doby # F (x) # je párna funkcia (symetrická na osi y) a # Y # sa zvyšuje ako veľkosť. t #X# minimálna # Y # hodnota sa nachádza kde #X# je najbližšie k 0. V našom prípade to bude -#sqrt (1/2) # alebo #sqrt (1/2) # kvôli obmedzenej doméne. Umožňuje pripojenie #sqrt (1/2) # nájsť minimum.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Rozsah bude teda 1, # # Oo)

odpoveď:

1, pozitívne nekonečno

vysvetlenie:

Pri grafovaní tejto funkcie (odporúčam Desmos, ak ju nemáte graficky znázornenú) vidíte, že najnižšia časť funkcie sa dotýka 1 na osi y a pokračuje pozitívne do nekonečna. Jednoduchý spôsob, ako to nájsť bez grafu, je zistiť, či máte v rovnici nejaké obmedzenia. Pretože neexistujú žiadne štvorcové korene záporných čísel, vieme, že ak nastavíme exponent na 0, môžeme nájsť najnižšiu možnú hodnotu x.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# X ^ 2 = 1/2 #

# X = sqrt (1/2) #

Teraz, keď máme obmedzenie domény, môžeme to použiť pre pôvodnú rovnicu

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

# F (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

# F (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

# F (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

# F (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

# F (sqrt (1/2)) = 1 #

Teraz sme zistili, že najnižšia možná hodnota y je 1 a neexistuje žiadne obmedzenie, ako vysoké hodnoty y môžu ísť. Preto je rozsah od pozitívneho 1 (vrátane) do pozitívneho nekonečna.