Dokážte, že cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = detská postieľka (x / 8) -cotx?

# LHS = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx + cotx-cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + farba (modrá) 1 / sinx + cosx / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + farba (modrá) (1 + cosx) / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + farba (modrá) (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) cos (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + farba (modrá) (cos (x / 2) / sin (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + farba (zelená) (cosec (x / 2) + postieľka (x / 2)) - cotx #

#color (magenta) "Postupuje sa podobne ako predtým" #

# = Cosec (x / 4) + farebné (zelená), lôžko (x / 4) -cotx #

# = Lôžko (x / 8) -cotx = RHS #

odpoveď:

Láskavo prejsť dôkaz uvedené v. t Vysvetlenie.

vysvetlenie:

nastavenie # X = 8Y #, máme dokázať,

# Cosec2y + cosec4y + cosec8y = Coty-cot8y #.

Všimnite si, že # Cosec8y + cot8y = 1 / (sin8y) + (cos8y) / (sin8y) #, # = (1 + cos8y) / (sin8y) #, # = (2cos ^ 2 4y) / (2sin4ycos4y) #, # = (Cos4y) / (sin4y) #.

# "Tak," cosec8y + co8y = cot4y = detská postieľka (1/2 * 8y) …….. (hviezdička) #.

pridávanie, # # Cosec4y, # Cosec4y + (cosec8y + co8y) = cosec4y + cot4y #,

# = detská postieľka (1/2 * 4y) ……… pretože, (hviezdička) #.

#:. cosec4y + cosec8y + co8y = cot2y #.

Re-adding # # Cosec2y a znovu za použitia #(hviezda)#, # Cosec2y + (cosec4y + cosec8y + co8y) = cosec2y + cot2y #, # = Lôžko (1/2 * 2y) #.

#:. cosec2y + cosec4y + cosec8y + co8y = coty, tzn.

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #, podľa potreby!

odpoveď:

Ďalší prístup, ktorý som sa naučil predtým rešpektovaný sir dk_ch.

vysvetlenie:

# RHS = lôžko (x / 8) -cotx #

# = Cos (x / 8) / sin (x / 8) -cosx / sinx #

# = (Sinx * cos (x / 8) -cosx * sin (x / 8)) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = Sin (x-x / 8) / (sinx * sin (x / 8)) = sin ((7x) / 8) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = (2sin ((7x) / 8) * cos (x / 8)) / (2 * sin (x / 8) * cos (x / 8) * sinx) #

# = (Sinx + sin ((3 x) / 4)) / (sinx * sin (x / 4)) = zrušenie (sinx) / (zrušiť (sinx) * sin (x / 4)) + (2sin ((3x) / 4) * cos (x / 4)) / (sinx * 2 * sin (x / 4) * cos (x / 4)) #

# = Cosec (x / 4) + (sinx + sin (x / 2)) / (sinx * sin (x / 2)) = cosecx + cosec (x / 2) + coesc (x / 4) = LHS #