Prosím pomôžte. Nie som si istý, ako to urobiť rýchlo bez toho, aby som to všetko vynásobil?

odpoveď:

Odpoveď na (I) je #240#.

Odpoveď na (Ii) je #200#.

vysvetlenie:

Môžeme to urobiť pomocou Pascalovho trojuholníka, znázorneného nižšie.

(I)

Pretože exponent je #6#, musíme použiť šiesty riadok v trojuholníku, ktorý zahŕňa #color (fialová) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # a #COLOR (fialová) 1 #, V podstate budeme používať #COLOR (modrá) 1 # ako prvý termín a. t #COLOR (red) (2x) # ako druhý. Potom môžeme vytvoriť nasledujúcu rovnicu. Exponent prvého výrazu sa zvyšuje o #1# zakaždým a exponent druhého výrazu klesá o #1# s každým termínom z trojuholníka.

# (Farba (fialová) 1 * farba (modrá) (1 ^ 0) * farba (červená) ((2x) ^ 6)) + (farba (fialová) 6 * farba (modrá) (1 ^ 1) * farba (červená) ((2x), ^ 5)) + (farba (fialová) 15 * farba (modrá) (1 ^ 2) * farba (červená) ((2x) ^ 4)) + (farba (fialová) 20 * farba (modro) (1 ^ 3) * farba (červená) ((2x) ^ 3)) + (farba (fialová) 15 * farba (modrá) (1 ^ 4) * farba (červená) ((2 x) ^ 2)) + (farba (fialová) 6 * farba (modrá) (1 ^ 5) * farba (červená) ((2x) ^ 1)) + (farba (fialová) 1 * farba (modrá) (1 ^ 6) * farba (červená) ((2 x) ^ 0)) #

Potom to môžeme zjednodušiť.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Preto koeficient # X ^ 4 # je #240#.

(Ii)

Už vieme, rozšírenie # (1 + 2x) ^ 6 #, Teraz môžeme tieto dva výrazy znásobiť spoločne.

#COLOR (hnedá) (1-x (1/4)) * farba (oranžová) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koeficient koeficientu #X# v # 1-x (1/4) # je #1#, Takže vieme, že zvýši hodnoty exponentov v druhom výraze o #1#, Pretože potrebujeme koeficient # X ^ 4 #, musíme sa len rozmnožiť # 160x ^ 3 # podľa # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Musíme ho pridať # 240x ^ 4 #, Toto je jedna časť riešenia # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, kvôli násobeniu #1#, Je to dôležité, pretože má aj exponent #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Preto je koeficient #200#.

odpoveď:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

vysvetlenie:

Dvojčlenná expanzia pre # (A + bx) ^ c # môže byť reprezentovaný ako:

#sum_ (n = 0) ^ C (!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Pre časť 1 potrebujeme len vtedy, keď # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Pre časť 2 potrebujeme aj # X ^ 3 # z dôvodu # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (X / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #