Dokážte to: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Dokázať

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = Sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

ukázalo

To je jeden z tých dôkazov, ktoré sa ľahšie pracujú sprava doľava. Začnite s:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Vynásobte čitateľa a menovateľa vložených frakcií "konjugátmi" (napr. # # 1pmsinx na # 1 x sinx #). Získate to, napr. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Zopakujte predchádzajúci krok na zjednodušenie menovateľa v vložených frakciách ďalej:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) () (1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Použite identity # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # a # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # získať:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Spojte zlomky a preklopte, aby ste násobili vzájomné hodnoty:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) # 2

Rozbaliť štvorcové výrazy:

# = (zrušiť (1) + 2sinx + zrušiť (sin ^ 2x) - (zrušiť (1) -2sinx + zrušiť (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (zrušiť (1)) + 2cosx + zrušiť (cos ^ 2x) - (zrušiť (1) -2cosx + zrušiť (cos ^ 2 x))) #

# = (zrušiť (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (zrušiť (4) cosx) #

# = farba (modrá) (tan ^ 5x) #