odpoveď:
Pozri vysvetlenie.
vysvetlenie:
Podľa Heineho definície funkčného limitu máme:
#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #
#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #
Tak ukázať, že funkcia má NO limit na # # X_0 musíme nájsť dve sekvencie # {X_n} # a # {Bar (x) _n} # také
#lim_ {n -> + oo} X_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) = _n x_0 #
a
#lim_ {n -> + oo} f (X_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #
V danom príklade môžu byť takéto sekvencie:
# X_n = 1 / (2 ^ n) # a #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #
Obe sekvencie sa zbiehajú # X_0 = 0 #, ale podľa vzorca funkcie máme:
#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)
pretože všetky prvky v # # X_n sú v #1,1/2,1/4,…#
a pre #bar (x) _n # máme:
# F (bar (x) _1) = f (1) = 2 #
ale pre všetkých # N> = 2 # máme: # F (bar (x) _n) = 1 #
Tak pre # N -> + oo # máme:
#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)
Obe sekvencie pokrývajú # X_0 = 0 #, ale limity (*) a (**) sú NOT rovnaké, takže limit #lim_ {x-> 0} f (x) # neexistuje.
QED
Definíciu limitu nájdete na stránke Wikipedia na adrese:
odpoveď:
Tu je dôkaz použitím negácie definície existencie limitu.
vysvetlenie:
Krátka verzia
# F (x) # prístup k jednému číslu # L # pretože v každom okolí #0#, funkcia # F # berie na seba hodnoty, ktoré sa navzájom líšia #1#.
Takže bez ohľadu na to, čo niekto navrhuje # L #, tam sú body #X# blízkosti #0#, kde # F (x) # je aspoň #1/2# jednotky # L #
Dlhá verzia
#lim_ (xrarr0) f (x) # existuje iba vtedy, ak
existuje číslo, # L # pre všetkých #epsilon> 0 #, existuje #delta> 0 # také, že pre všetkých #X#, # 0 <abs (x) <delta # implikuje #abs (f (x) -L) <epsilon #
Negatívom je:
#lim_ (xrarr0) f (x) # neexistuje, len ak
pre každé číslo, # L # existuje #epsilon> 0 #, také, že pre všetkých #delta> 0 # existuje #X#, také # 0 <abs (x) <delta # a #abs (f (x) -L)> = epsilon #
Dané číslo # L #, Pustím #epsilon = 1/2 # (akékoľvek menšie # Epsilon # bude fungovať aj)
Teraz dal pozitívne # Delta #, Musím ukázať, že existuje #X# s # 0 <absx <delta # a #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (pripomeňme si to #epsilon = 1/2 #)
Vzhľadom k pozitívnemu # Delta #, prípadne # 1/2 ^ n <delta # takže existuje # # X_1 s #f (x_1) = 2 #.
Existuje aj prvok # x_2 v RR- {1, 1/2, 1/4,.,, } # s # 0 <x_2 <delta # a #f (x_2) = 1 #
ak #L <= (1/2) #, potom #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #
ak #L> = (1/2) #, potom #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #
