Čo je to vlnová funkcia a aké sú požiadavky na jej správne správanie, t. J. Na to, aby správne reprezentovala fyzickú realitu?

odpoveď:

Vlnová funkcia je komplexná hodnotená funkcia, ktorej amplitúda (absolútna hodnota) udáva rozdelenie pravdepodobnosti. Nie je to však ako obyčajná vlna.

vysvetlenie:

V kvantovej mechanike hovoríme o stave systému. Jedným z najjednoduchších príkladov je častica, ktorá sa môže otáčať nahor alebo nadol, napríklad elektrón. Keď meriame rotáciu systému, meriame to buď hore alebo dole. Stav, ktorým sme si istí výsledkom merania, nazývame vlastným stavom (jeden hore stav # # Uarr a jeden dole # # Darr).

Existujú aj štáty, v ktorých sme si neistí výsledok merania predtým, ako ho zmeráme. Tieto stavy nazývame superpozícia a môžeme ich zapísať ako # A * uarr + b * darr #, Tu máme # | A | ^ 2 # pravdepodobnosť merania # # Uarra # | B | ^ 2 # pravdepodobnosť merania # # Darr, To samozrejme znamená # | A | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #, Umožňujeme # A, b # aby to boli komplexné čísla, dôvodom tohto príkladu nie je hneď jasné z tohto príkladu, ale v kontexte vlnovej funkcie bude jasnejšie. Spodným riadkom je, že existuje viac stavov ako jeden, ktorý poskytuje rovnaké pravdepodobnosti na meranie otočení.

Teraz by sme sa mohli pokúsiť priradiť funkciu tomuto stavu odstreďovania. Keďže existujú len dva výsledky merania rotácie, máme funkciu, ktorá má len dva možné vstupy. Ak zavoláme funkciu # Psy # (Toto je veľmi konvenčný symbol používaný pre vlnovú vlnu), stanovili sme #psi (uarr) = a # a #psi (Darr) = b #.

Teraz sa obrátime na vlnovú funkciu. Jedným aspektom častice je samozrejme jej umiestnenie. Rovnako ako v prípade rotácie, môžeme merať rôzne hodnoty pre umiestnenie a môžeme mať stavy, v ktorých výsledok merania nie je vopred stanovený. Keďže máme nespočetné nekonečné množstvo miest, kde môže byť častica, zapíšte si tento stav ako # A * "tu" + b * "tam" # neurobí. Avšak myšlienka funkcie, ktorú sme použili vyššie. Takže pre akékoľvek miesto #X#, máme komplexnú hodnotu #psi (x) #, Funkcia hustoty pravdepodobnosti častíc je teraz daná # | Psy (x) | ^ 2 #.

Vo všetkej spravodlivosti je historicky myšlienka vlnovej funkcie staršia ako myšlienka rotácie, ale myslím si, že pochopenie myšlienky rotácie do určitej miery pomáha pri pochopení vlnovej funkcie.

Teraz je predovšetkým dôvod, prečo je cenný vlnový komplex cenený? Prvý dôvod možno nájsť v myšlienke interferencie. Vlnová funkcia častice môže zasahovať do seba. Táto interferencia má čo do činenia s pridaním vlnových funkcií, ak vlnové funkcie poskytujú v určitom bode rovnakú absolútnu hodnotu, potom je pravdepodobnosť merania častíc okolo tohto bodu podobná. Funkčné hodnoty však môžu byť odlišné, ak sú rovnaké, ich pridaním sa vytvorí amplitúda alebo hustota pravdepodobnosti 4 (#|2|^2#) krát väčšie (konštruktívne rušenie) a ak sa líšia znakom, vzájomne sa rušia (deštruktívne rušenie). Môže sa však líšiť napríklad aj faktorom # Aj #, čo znamená, že hustota pravdepodobnosti sa stáva #2# krát v tom čase. Vieme, že sa môžu vyskytnúť všetky tieto rušenia. Tak to ukazuje na komplexnú hodnotenú vlnovú funkciu, ako je opísané vyššie.

Druhý dôvod možno nájsť v Schrödingerovej rovnici. Pôvodne sa predpokladalo, že tieto vlnové funkcie sa správali rovnako ako klasické vlny. Keď sa však Schrödinger pokúsil popísať správanie týchto vĺn, alebo aspoň ich vývoj v čase, zistil, že rovnica upravujúca klasické vlny nebola primeraná. Aby mohol fungovať, musel do rovnice zaviesť komplexné číslo, čo viedlo k záveru, že aj samotná funkcia musí byť zložitá a poradie derivátov, ktoré sa nachádzajú v rovnici, sa líši od klasickej vlnovej rovnice.

Tento rozdiel v rovniciach tiež odpovedá na vašu druhú otázku. Keďže vývoj vlnovej funkcie sa líši od vývoja klasických vĺn, nemôžeme použiť rovnaké metódy, aké používame v klasickej vlnovej fyzike. Existujú samozrejme geometrické argumenty, ktoré môžete použiť, ale nestačí na to, aby sme opísali všetky javy v kvantovej fyzike. Okrem toho, aj keď vlnová funkcia poskytuje veľa informácií o stave častice, nehovorí vám nič o jej rotácii, pretože pozorované rotácie a umiestnenie majú málo čo do činenia s každým.

Možno interpretujem to, čo máte na mysli geometrickou povahou, nesprávne. Mohli by ste uviesť príklad toho, čo máte na mysli. Možno by som vám mohol pomôcť ďalej.

vlnová funkcia predstavuje stav kvantového mechanického systému, ako je atóm alebo molekula.

Môže byť reprezentovaný ako jeden # Psy #, časovo nezávislá vlnová funkcia, alebo # Psy #, časovo závislé vlnová funkcia.

Pretože vlna funkcia zjavne predstavuje systém, ktorý sa správa ako a vlna (Nie je to náhoda, že sa to nazýva vlna funkcia!), normálne by sme očakávali neobmedzený vlnová funkcia nemá žiadne hranice. Zvážte to # # Sinx a # # Cosx, dve funkcie, ktoré sú jasne vlny, majú domény # (- oo, oo) #.

PRÍKLAD: FUNKCIA VLNA PRE ORBITÁLY

Vezmime si však napríklad orbitály. Musí existovať súbor hraničné podmienky pre obežnú dráhu, pretože orbitály zjavne nie sú nekonečne veľké.

Vlnová funkcia môže zobrazovať lineárna kombinácia atómových orbitálov vytvoriť molekulárne orbitály:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = farba (modrá) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..) #.

kde # # C_i je koeficient rozťažnosti indikáciu príspevku každého atómového orbitalu k príslušnému molekulovému orbitálu a # Phi_i ^ "AO" # je experimentálna / skúšobná vlnová funkcia pre každý atómový orbitál.

Keďže vlnová funkcia musí byť schopná reprezentovať orbitál, musí mať kladný polomer (#r> 0 #) a vlnová funkcia musí byť jednoposteľová cenil, zatvorené , nepretržitý , ortogonálne na všetky súvisiace vlnové funkcie a normalizable .

Inými slovami, musí prejsť testom vertikálnej čiary, mať konečnú plochu pod krivkou, nemá žiadne skoky / diskontinuity / asymptoty / prestávky a musí spĺňať tieto dve rovnice:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integrál vlnovej funkcie a jeho komplexný konjugát je #0# ak sú vlnové funkcie odlišné)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integrál vlnovej funkcie a jeho komplexný konjugát je normalizovaný tak, že sa rovná #1# ak sú vlnové funkcie okrem znamienka rovnaké # PMI #)

Jedna vzorová rovnica pre vlnovú funkciu vo sférických súradniciach pre atóm vodíka je:

#color (modrá) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = farba (modrá) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) ^ ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Myslel som, že som strávil čas normalizáciou. Dokonca som si vzal čas na kontrolu ortogonality s ostatnými dvoma # # 2p vlnové funkcie.: P

Len v prípade, tu je dodatok k tomu, čo som v predchádzajúcom texte označil ako Scratchpads.

#' '#

Normalizácia

# # 2p_z atómová orbitálna vlnová funkcia je:

#psi_ (2PZ) #

# = R (nl) (r) Y (l) ^ (m) (theta, phi) = R (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0) costheta #

(McQuarrie)

Je # # 2p_z wavefunction naozaj normalizovaná? POĎME ZISTIŤ!

#hhff (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (zelená) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (a) (=) 1) #

Teraz, skúmajúc len radiálnu časť, ktorá je bláznivá časť … nech sa začne štvornásobná integrácia podľa častí!

HODNOTENIE RADIÁLNEJ ZLOŽKY FUNKCIE VLNA

Časť 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

nech:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4-násobok e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Časť 2

nech:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Časť 3

nech:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2názov e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Časť 4

nech:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) DR}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))DR}}#

EXPANZIA / Zjednodušenie

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Zo ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMULÁR HODNOTENIA - READY

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Prvá polovica sa zruší byť #0#:

# = zrušiť ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 0 ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 + 2 ((a_0) / Z) ^ 5}) (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Druhá polovica zjednodušuje byť # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = zrušiť (e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) ^ (1) zrušiť ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + zrušiť (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + zrušiť (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + zrušiť (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Poďme znovu preskúmať vlnovú funkciu ako celok …

#psi_ (2PZ) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (zrušiť (32) zrušiť (pi)) zrušiť ((Z / a_0) ^ 5) (zrušiť (16) zrušiť ((a_0 / Z) ^ 5)) (zrušiť (2) zrušiť (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (blue) (1 = 1) #

ÁNO! ONE EQUAL ONE! Myslím…

Vlnová funkcia je skutočne normalizovaná!: D

Preukázanie vzájomnej ortogonality pre 2p vlnové funkcie

Vyberme si nasledujúce vlnové funkcie:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Aby sme ukázali, že sú ortogonálne, musíme ukázať aspoň jeden z nich:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Z indukcie môžeme odvodiť zvyšok, pretože radiálne komponenty sú identické. Inými slovami:

#hhff (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (a) (=) 0) #

#color (zelená) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Radiálna časť sa ukáže byť # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #, Vyhodnotme teda uhlové úseky.

# # Theta diel:

#color (zelená) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

nech:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farba (zelená) (0) #

A teraz # Cp # diel:

#color (zelená) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

nech:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = farba (zelená) (0) #

Preto máme celkovo:

#color (modrá) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = zrušiť (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = farba (modrá) (0) #

od tej doby

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# # 2p_z a # # 2p_x atómové orbitály sú ortogonálne.

Naozaj, hlavný rozdiel s použitím # # 2p_y rovnica je, že namiesto toho dostanete:

#color (zelená) ("Konštanty" int_ (0) ^ (oo) "Rovnaké veci" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

A tak:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = farba (modrá) (0) #

Z násobenia #0# inými integrálmi, takže celý integrál zmizne a:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

teda # # 2p_x a # # 2p_y atómové orbitály sú ortogonálne.

Nakoniec, pre # # 2p_y vs. # # 2p_z:

#color (zelená) ("Konštanty" int_ (0) ^ (oo) "Rovnaké veci" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Poznáme to # # Theta integrál od predchádzajúceho:

#color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farba (modrá) (0) #

A tak celý integrál opäť zmizne a naozaj # # 2p_y a # # 2p_z orbitály sú tiež ortogonálne!