Ako zistíte kvadratickú funkciu f (x) = ax² + bx + c danú minimálnu hodnotu -4, keď x = 3; jedna nula je 6?

odpoveď:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Kvadratické funkcie sú symetrické okolo ich vrcholovej čiary, tj na x = 3 to znamená, že druhá nula bude na x = 0.

Vieme, že vrchol sa vyskytuje pri x = 3, takže prvá derivácia funkcie vyhodnotená pri x = 3 bude nulová.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Poznáme aj hodnotu samotnej funkcie pri x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Máme dve rovnice, ale tri neznáme, takže budeme potrebovať ďalšiu rovnicu. Pozrite sa na známu nulu:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Teraz máme systém rovníc:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Aby sme si prečítali riešenia, chceme znížiť maticu koeficientov na redukovanú formu pomocou elementárnych riadkových operácií.

Vynásobte prvý riadok podľa #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

pridať #-9# krát prvý riadok na druhý riadok:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

pridať #-36# krát prvý riadok na tretí:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Vynásobte druhý riadok podľa #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

pridať #-2/3# krát tretí riadok na druhý riadok:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

pridať #-1/6# krát druhý až prvý

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Uskutočnenie tejto série operácií do vektora riešenia dáva:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Takže čítanie riešení, ktoré máme # a = 4/9 a b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

graf {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}