Ako zistíte lineárnu aproximáciu ku koreňu (4) (84)?

odpoveď:

#root (4) (84) ~ ~ 3.03 #

vysvetlenie:

Poznač si to #3^4 = 81#, ktorý je blízko #84#.

tak #root (4) (84) # je o niečo väčší ako #3#.

Na získanie lepšej aproximácie môžeme použiť lineárnu aproximáciu, a.k.a. Newtonovu metódu.

definovať:

#f (x) = x ^ 4-84 #

potom:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

a udáva približnú nulu # X = a # z # F (x) #, lepšia aproximácia je:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Takže v našom prípade, uvedenie # A = 3 #, lepšia aproximácia je:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 bar (7) #

To je takmer presné #4# významné čísla, ale citujme aproximáciu ako #3.03#

odpoveď:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

vysvetlenie:

Všimnite si, že lineárna aproximácia v blízkosti bodu # A # môže byť zadaný:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Ak je dané: #f (x) = koreň (4) (x) #

potom vhodnou voľbou pre # A # bolo by # A = 81 # pretože vieme #root (4) 81 = 3 # presne a je blízko #84#.

takže:

#f (a) = f (81) = koreň (4) (81) = 3 #

tiež;

#f (x) = x ^ (1/4) # tak #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Preto môžeme priblížiť (blízko #81#):

# F (x) ~~ f (a) + f '(a) (X-a) #

#implies root (4) (x) ~ ~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

takže:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84 až 81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Čím presnejšia hodnota je #3.02740#

tak lineárna aproximácia je dosť blízko.

odpoveď:

#root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #

vysvetlenie:

Môžeme povedať, že máme funkciu #f (x) = koreň (4) (x) #

a # root (4) (84) = f (84) #

Nájdime deriváciu našej funkcie.

Používame mocenské pravidlo, ktoré uvádza, že ak # F (x) = x ^ n #, potom # F '(x) = nx ^ (n-1) # kde # N # je konštanta.

# F (x) = x ^ (1/4) #

=># F '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=># F '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=># F '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=># F '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Priblížiť # root (4) (84) #, snažíme sa nájsť dokonalú štvrtú mocninu najbližšiu k 84

Pozrime sa…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vidíme to #81# je naša najbližšia.

Teraz nájdeme tangenciálnu líniu našej funkcie, keď # X = 81 #

=># F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=># F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=># F '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=># F '(81) = 1/108 #

Toto je svah, ktorý hľadáme.

Pokúsme sa napísať rovnicu dotyčnice v tvare # Y = mx + b #

No, čo je # Y # rovná sa # X = 81 #?

Pozrime sa…

# F (81) = koreň (4) (81) #

=># F (81) = 3 #

Preto máme teraz:

# 3 = M81 + b # Vieme, že svah, # M #, je #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Teraz môžeme vyriešiť # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Preto je rovnica tangenty priamka # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Teraz používame 84 na mieste #X#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># R = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Z tohto dôvodu #root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #