Predpokladajme, že nemám vzorec pre g (x), ale viem, že g (1) = 3 a g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) pre všetky x. Ako môžem použiť lineárnu aproximáciu na odhadnutie g (0,9) a g (1,1)?

Noste so mnou trošku, ale ide o rovnicu sklonu, ktorá je založená na prvej derivácii … A chcel by som vás priviesť na cestu k robiť odpoveď, nie len dať odpoveď …

Dobre, predtým, než sa dostanem k odpovedi, dovoľte, aby som vás nechal na (trochu) humornej diskusii s mojou kamarátkou v kancelárii.

Ja: "Dobre, waitasec … Vy nepoznáte g (x), ale viete, že derivácia je pravdivá pre všetkých (x) … Prečo chcete urobiť lineárnu interpretáciu založenú na deriváte? Len si vezmite integrál derivátu a máte pôvodný vzorec … Správne?

OM: "Počkaj, čo?" číta otázku uvedenú vyššie "Svätý moly, neurobil som to v rokoch!"

To vedie k diskusii medzi nami o tom, ako to integrovať, ale to, čo profesor naozaj chce (pravdepodobne), nie je, aby ste vykonali opačnú operáciu (ktorá môže byť v niektorých prípadoch naozaj HARD), ale pochopiť čo 1. derivát je vlastne.

Takže sme sa poškriabali na hlavách a prechádzali cez naše kolektívne spomínané vekové súbory a nakoniec sme sa dohodli, že 2. derivát je lokálne maximá / minimá a prvý derivát (ten, na ktorom vám záleží) je sklon krivky v danom bode.

Čo to má spoločné s cenou červov v Mexiku? No, ak urobíme predpoklad, že sklon zostáva relatívne konštantný pre všetky „blízke“ body (aby ste to vedeli, musíte sa pozrieť na krivku a použiť dobrý úsudok založený na tom, čo viete o veciach - ale pretože toto je to, čo váš prof. chce, to je to, čo dostane!), potom môžeme urobiť lineárnu interpoláciu - čo je presne to, o čo ste žiadali!

Dobre, potom - mäso z odpovede:

Sklon (m) funkcie pri našej známej hodnote je:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Preto je sklon mimo známeho bodu (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Nezabudnite, že vzorec pre riadok (potrebný pre lineárnu interpoláciu) je:

# Y = mx + b #

To znamená, že pre body "blízko" k našej známej hodnote môžeme hodnoty priblížiť tak, že sú na priamke so sklonom m, a y-zachytiť b. alebo:

#G (x) = mx + b #

#G (x) = 4x + b #

Takže, čo je # B #?

Riešime to pomocou našej známej hodnoty:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Teraz poznáme vzorec pre čiaru, ktorá sa približuje našej krivke v známom bode:

g (x#~=#1) = 4x-1

Takže, nie sme vložiť naše aproximačné body získať približnú hodnotu, alebo:

#G (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#G (0,9) ~ = 3,6-1 #

#G (0,9) ~ = 2,6 #

a

#G (1,1) ~ = 4 (1,1) -1 #

#G (1,1) ~ = 4,4-1 #

#G (1,1) ~ = 3,4 #

Ľahko, že?