Počet spôsobov, ktorými môže examinátor prideliť 30 bodov na 8 otázok, ktoré nie sú menšie ako 2 známky, je?

odpoveď:

#259459200#

vysvetlenie:

Ak to čítam správne, potom, ak skúšajúci môže priradiť známky len v násobkoch 2. To by znamenalo, že existuje iba 15 možností z 30 značiek. #30/2 = 15#

Potom máme 15 možností rozdelených na 8 otázok.

Použitie vzorca pre permutácie:

# (n!) / ((n - r)!) #

Kde # N # je počet objektov (v tomto prípade značky v skupinách po 2).

a # R # je to, koľko sa berie naraz (v tomto prípade 8 otázok)

Takže máme:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

odpoveď:

Existujú # "" _ 21C_14 # (alebo 116,280).

vysvetlenie:

Začneme s 30 bodmi v "banke", ktoré nám dáme. Keďže všetky otázky musia byť v hodnote aspoň 2 bodov, berieme # 2 xx 8 = 16 # značky od #30# a rovnomerne ich distribuovať. Teraz každá otázka má 2 (zatiaľ) a "banka" zostáva #30-16=14# zn.

Teraz musíme len nájsť počet spôsobov, ako rozdeliť zvyšných 14 bodov medzi 8 otázok. Najprv sa to môže zdať veľmi ťažké, ale je tu trik, ktorý ho robí oveľa intuitívnejším.

Zjednodušme veci na chvíľu. Čo keby sme mali len 2 otázky a 14 značiek by sa medzi nimi rozdelilo? Koľko spôsobov by sme to mohli urobiť? Značky môžeme rozdeliť na 14 + 0 alebo 13 + 1 alebo 12 + 2 atď. … alebo 1 + 13 alebo 0 + 14. Inými slovami, keď potrebujeme zaviesť len 1 rozdelenie (medzi 2 otázkami), dostaneme 15 spôsobov, ako to urobiť.

Je to to isté ako pýtať sa: "Koľko jedinečných spôsobov môžeme usporiadať 14 žltých guličiek (značiek) a 1 modrý mramor (otázka splitter) v rade?" Odpoveď na túto otázku sa zistí výpočtom počtu permutácií všetkých 15 guličiek (čo je #15!#), potom delením počtom spôsobov, ako permutovať obe žlté guličky #(14!)# a modré guličky #(1!)#pretože v každom usporiadaní nezáleží na tom, v akom poradí sa objavia identické guličky.

Takže keď existuje 14 žltých guličiek (značiek) a 1 modrý mramor (otázka splitter), tam sú

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Zrušiť (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 spôsobov, ako usporiadať guličky (rozdeliť značky). Poznámka: toto sa rovná # "" _ 15C_14 #.

Predstavme si ďalší modrý mramor - teda druhý rozkol, alebo tretiu otázku, na ktorú by sme mali dať známky. Teraz máme 16 celkových guličiek a chceme vedieť, koľko jedinečných spôsobov ich môžeme zariadiť. Podobne ako predtým, berieme #16!# spôsoby, ako usporiadať všetky guličky, potom rozdeliť podľa spôsobov, ako permutovať obe žlté #(14!)# a modré #(2!)#:

# (16!) / (14! XX2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Zrušiť (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Existuje teda 120 spôsobov rozdelenia 14 značiek medzi 3 otázky. To je tiež rovnaké # "" _ 16C_14 #.

Teraz si môžete všimnúť, kam smerujeme. Číslo vľavo od # C # sa rovná počtu značiek, ktoré delíme (žlté guličky) plus počet rozdeľovačov (modré guličky). Počet rozdeľovačov je vždy o jeden menej ako počet otázok. Číslo vpravo # C # zostane počet značiek.

Na rozdelenie zostávajúcich 14 značiek medzi všetkých 8 otázok (ktoré vyžadujú 7 rozdeľovačov) vypočítame

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#COLOR (biely) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! Xx14!) #

#COLOR (biely) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

Takže existuje 116 280 spôsobov, ako priradiť 30 bodov na 8 otázok, kde každá otázka má hodnotu aspoň 2 známky.