Aká zábavná, užitočná, matematická skutočnosť viete, že sa v škole bežne neučia?

odpoveď:

Ako hodnotiť "veže exponentov", ako napr #2^(2^(2^2))#a ako vypracovať poslednú číslicu # 2 ^ n, # # # NinNN.

vysvetlenie:

Aby sme mohli zhodnotiť tieto "veže", začíname na vrchole a pracujeme smerom dole.

takže:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Na podobné, ale mierne nesúvisiace poznámky, tiež viem, ako vypracovať posledné číslice #2# zvýšený na akýkoľvek prírodný exponent. Posledná číslica #2# zvýšená na niečo vždy cykluje medzi štyrmi hodnotami: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Takže ak chcete nájsť poslednú číslicu # 2 ^ n #, zistite, ktoré miesto je v cykle, a budete poznať jeho posledné číslo.

odpoveď:

ak #n> 0 # a # A # je aproximácia #sqrt (n) #, potom:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

kde #b = n-a ^ 2 #

vysvetlenie:

Predpokladajme, že chceme nájsť druhú odmocninu nejakého čísla #n> 0 #.

Ďalej by sme chceli, aby bol výsledok nejakým pokračujúcim zlomkom, ktorý sa opakuje v každom kroku.

skúste:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

#color (biela) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

#color (biela) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

odčítať # A # z oboch strán získať:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Vynásobte obidve strany pomocou #sqrt (n) + a # získať:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Takže ak # A ^ 2 # je o niečo menej ako # N #, potom # B # bude malý a pokračujúci zlomok sa zbieha rýchlejšie.

Napríklad, ak máme # N = 28 # a vyberte si # A = 5 #, potom dostaneme:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

takže:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #)

ktorý nám dáva aproximácie:

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~ ~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~ ~ 5,2915094 #

Kalkulačka mi hovorí #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Takže to nie je obzvlášť rýchlo konvergujúce.

Prípadne by sme to mohli položiť # N = 28 # a # A = 127/24 # nájsť:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

takže:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #)

dávajúc nám aproximácie:

#sqrt (28) ~ ~ 127/24 = 5,291bar (6) #

#sqrt (28) ~ ~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~ ~ 5.29150262467 #

To je oveľa rýchlejšie.

odpoveď:

Aproximácie k štvorcovým koreňom môžete nájsť pomocou rekurzívne definovanej postupnosti.

vysvetlenie:

#COLOR (biely) () #

Metóda

Vzhľadom na kladné celé číslo # N # čo nie je dokonalé námestie:

• nechať #p = floor (sqrt (n)) # je najväčšie kladné číslo, ktorého štvorec nepresahuje # N #.

• nechať #q = n-p ^ 2 #

• Definujte postupnosť celých čísel podľa:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "pre" i> = 1):} #

Potom bude pomer medzi po sebe nasledujúcimi podmienkami sekvencie smerovať # P + sqrt (n) #

#COLOR (biely) () #

príklad

nechať # N = 7 #.

potom #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, pretože #2^2=4 < 7# ale #3^2 = 9 > 7#.

potom # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Takže naša postupnosť začína:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Teoreticky by mal pomer medzi po sebe nasledujúcimi výrazmi smerovať # 2 + sqrt (7) #

Pozrime sa:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Poznač si to # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#COLOR (biely) () #

Ako to funguje

Predpokladajme, že máme sekvenciu definovanú danými hodnotami # a_1, a_2 # a pravidlo:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

pre niektoré konštanty # P # a # Q #.

Zvážte rovnicu:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Korene tejto rovnice sú:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Potom akákoľvek sekvencia so všeobecným termínom # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # bude spĺňať pravidlo opakovania, ktoré sme špecifikovali.

Ďalšie riešenie:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

pre # A # a # B #.

Nájdeme:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

a preto:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x 1 (x_2-x 1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x 1-x_2)) #

Takže s týmito hodnotami # x_1, x_2, A, B # máme:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

ak #q <3p ^ 2 # potom #abs (x_2) <1 # a pomer medzi po sebe nasledujúcimi podmienkami bude mať tendenciu # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

odpoveď:

Modulárne delenie

vysvetlenie:

Modulárne delenie je rovnaké ako delenie okrem odpovede je zvyšok namiesto skutočnej hodnoty. Skôr než #-:# symbol, môžete použiť #%# symbol.

Napríklad, zvyčajne, ak ste mali vyriešiť #16-:5# by ste sa dostali #3# zvyšok #1# alebo #3.2#, Pri použití modulárneho rozdelenia však t #16%5=1#.

odpoveď:

Vyhodnotenie štvorcov sumáciami

vysvetlenie:

Normálne by ste mali poznať štvorce ako napr #5^2=25#, Avšak, keď sa čísla zväčšia, ako napr #25^2#, to je ťažšie poznať z hornej časti hlavy.

Uvedomil som si, že po chvíli sú štvorce len súčtom nepárnych čísel.

Chcem tým povedať:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # kde # K # je základná hodnota mínus #1#

tak #5^2# môže byť napísané ako:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

To vám dá:

#1+3+5+7+9#

Toto je v skutočnosti #25#.

Keďže čísla sa vždy zvyšujú o #2#, Potom by som mohol pridať prvé a posledné číslo a potom ich vynásobiť # K / 2 #.

Tak pre #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Takže môžem len urobiť #(49+1)(25/2)# a dostať #25^2# ktorý je #625#.

Nie je to naozaj praktické, ale je zaujímavé vedieť.

#COLOR (biely) () #

prémia

Vediac, že:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n termíny" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

nám umožňuje riešiť niektoré problémy týkajúce sa rozdielov štvorcov.

Napríklad, aké sú všetky riešenia v kladných celých čísel #m, n # z # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

To znižuje na zistenie, aké sumy po sebe idúcich nepárnych celých čísel sa sčítajú #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "priemer 20" #

#color (biela) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (biela) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (biela) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "priemer 10" #

#color (biela) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (biela) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (biela) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #