Ako zjednodušíte root3 (1)?

odpoveď:

#1# alebo #1^(1/3)# =#1#

vysvetlenie:

Kockový koreň 1 je rovnaký ako zvýšenie 1 na silu #1/3#, 1 k moci všetkého je stále 1.

odpoveď:

Pracujeme v realitách, ktoré dostávame #root 3 {1} = 1 #.

Každé nenulové komplexné číslo má tri korene kocky, takže tam

#root 3 {1} = 1 alebo -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

vysvetlenie:

Ak pracujeme v reálnych číslach, tak si len všimneme #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #, Predpokladám, že ide o zložité čísla.

Jedna z podivných vecí, ktoré zistíme, keď sa ponoríme do zložitých čísel, je tá funkcia # F (z) = e ^ {z} # je periodický. Exponenciálny rast je opak opaku, takže je to prekvapenie.

Kľúčovou skutočnosťou je Eulerova identita. Hovorím to Eulerova pravá identita.

# e ^ {2 i} = 1 #

Eulerova pravá identita ukazuje # E ^ z # je periodické # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Môžeme zvýšiť Eulerovu pravú identitu na akúkoľvek celočíselnú moc # K #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Čo to má spoločné s koreňom kocky? Je to kľúč. Hovorí, že existuje nespočetne veľa možností, ako písať. Niektoré z nich majú iné korene kocky ako iné. To je dôvod, prečo non-integer exponenty dávajú vznik viacnásobným hodnotám.

To je všetko veľký rozkaz. Zvyčajne ich začínam písaním:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # pre celé číslo # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Posledným krokom je samozrejme Eulerov vzorec # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta.

Pretože máme # # 2pi periodicita trigonálnych funkcií (ktorá vyplýva z periodicity exponenciálneho a Eulerovho vzorca) máme jedinečné hodnoty len pre tri po sebe idúce # K #s. Poďme to zhodnotiť # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Tak dostaneme tri hodnoty pre koreň kocky jedného:

#root 3 {1} = 1 alebo -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #