Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Našiel som žiadne sedlové body, ale minimálne:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Ak chcete nájsť extrém, vezmite čiastočný derivát #X# a # Y # zistiť, či sa obidve čiastkové deriváty môžu rovnať súčasne #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Ak sa zároveň musia rovnať #0#tvoria a systém rovníc:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

toto lineárny systém rovníc, pri odpočítaní zrušenia # Y #, dáva:

# 3x - 1 = 0 => farba (zelená) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => farba (zelená) (y = -2/3) #

Keďže rovnice boli lineárne, existoval len jeden kritický bod, a teda iba jeden extrém. Druhý derivát nám povie, či to bolo maximum alebo minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Tieto druhé partials sú v zhode, takže graf je konkávne, pozdĺž #X# a # Y # os.

Hodnota # F (x, y) # v kritickom bode je (zapojením späť do pôvodnej rovnice):

#color (zelená) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = farba (zelená) (- 1/3) #

Máme teda minimum z #color (modrá) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Teraz, pre priečne deriváty skontrolovať akékoľvek sedlové body, ktoré by mohli byť pozdĺž diagonálneho smeru:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) (x, y) = 1 #

Keďže tieto sú tiež v zhode, namiesto toho, aby boli opačné znamenia, existuje žiadny sedlový bod.

Môžeme vidieť, ako tento graf vyzerá len na kontrolu: