K je skutočné číslo, ktoré spĺňa nasledujúcu vlastnosť: "pre každé 3 pozitívne čísla, a, b, c; ak a + b + c K potom abc K" Môžete nájsť najväčšiu hodnotu K?

odpoveď:

# K = 3sqrt (3) #

vysvetlenie:

Ak dáme:

# a = b = c = K / 3 #

potom:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

takže:

# K ^ 2 <= 27 #

takže:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Ak máme # A + b + c <= 3sqrt (3) # potom to môžeme povedať # A = b = c = sqrt (3) # udáva maximálnu možnú hodnotu # Abc #:

Ak napríklad opravíme #c in (0, 3sqrt (3)) # a nechať #d = 3sqrt (3) -c #, potom:

# a + b = d #

takže:

#abc = a (d-a) c #

#color (biela) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (biela) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (biela) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

ktorá má svoju maximálnu hodnotu, keď # A = d / 2 # a # B = d / 2 #, to je kedy # A = B #.

Podobne ak opravíme # B #, potom zistíme, že maximum je kedy # A = c #.

Preto maximálna hodnota # Abc # sa dosiahne, keď # A = b = c #.

tak # K = 3sqrt (3) # je maximálna možná hodnota # A + b + c # takýmto spôsobom #abc <= K #