Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Vypočítajte hodnotu očakávania v ktoromkoľvek neskoršom čase t = t_1, phi_n sú vlastnými vlastnosťami energie nekonečného potenciálu dobre. Napíšte odpoveď v zmysle E_0?

No, dostanem # 14 / 5E_1 #… a vzhľadom na váš zvolený systém, nemôže byť re-vyjadrený v termínoch # # E_0.

V tejto otázke je veľa pravidiel kvantovej mechaniky …

# # Phi_0, pretože používame nekonečné potenciálne dobre riešenie, zmizne automaticky … #n = 0 #, takže #sin (0) = 0 #.

A pre kontext sme to nechali #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

to je nemožné napísať odpoveď z hľadiska # # E_0 pretože #n = 0 # Neexistuje pre nekonečný potenciál dobre. Ak nechcete, aby častica zmiznúť , Musím to napísať z hľadiska # # E_n, #n = 1, 2, 3,.,, #…
Energia je konštanta pohybu, t.j. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Tak teraz…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Hodnota očakávania je konštanta pohybu, takže sa nestaráme, koľko času # # T_1 vyberáme. Inak to nie je konzervatívny systém …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # pre niektoré #n = 1, 2, 3,.,, #

V skutočnosti už vieme, čo to má byť, pretože Hamiltonian pre jedno-dimenzionálny potenciál nekonečného potenciálu je časovo nezávislý …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

a # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # prejdite na 1 v integrále:

#color (modrá) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

kde sme nechali #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #, Opäť platí, že všetky fázové faktory sa rušia, a poznamenávame, že off-diagonálne termíny idú na nulu kvôli ortogonálnosti # # Phi_n.

Menovateľ je normou # Psy #, ktorý je

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Z tohto dôvodu # << Psi | Psi >> = 5/6 #, To dáva:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) zrušiť (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) zrušiť (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) zrušiť (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / l) zrušiť (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Použiť deriváty:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 hriech ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konštanty plávajú:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

A tento integrál je známy z fyzických dôvodov, aby sa nachádzal na polceste medzi nimi #0# a # L #, nezávislý od # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) # #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = farba (modrá) (14/5 E_1) #

odpoveď:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

vysvetlenie:

Každý stacionárny stav zodpovedajúci vlastnej hodnote energie # # E_n zachytáva fázový faktor #e ^ {- iE_n t} # o vývoji času. Daný stav je nie stacionárny stav - pretože je to superpozícia energetických eigenstátov patriacich k rôznym vlastným hodnotám. V dôsledku toho sa bude časom vyvíjať netriviálnym spôsobom. Avšak, Schroedingerova rovnica, ktorá riadi časový vývoj stavov, je lineárna - tak, že každá zložka energetickej eigenfunkcie sa vyvíja nezávisle - vyberá svoj vlastný fázový faktor.

Takže začiatočná vlnová funkcia

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

časom # T # na

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

To znamená, že hodnota očakávanej energie v čase # T # je daný

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) klobúk {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) klobúk {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) krát (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

kde sme použili skutočnosť, že. t #phi_i (x) # sú vlastnými energetickými vlastnosťami, takže #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

To nám stále dáva deväť podmienok. Konečný výpočet je však značne zjednodušený skutočnosťou, že energetické funkcie sú orto-normalizované, tj. poslúchajú

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

To znamená, že z deviatich integrálov prežijú len traja a dostaneme

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Výsledkom je štandard #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, máme # E_1 = 4E_0 # a # E_2 = 9E_0 # pre nekonečný potenciál dobre (môžete byť viac zvyknutí na výraz, ktorý hovorí #E_n propto n ^ 2 # pre nekonečnú studňu - ale v týchto krajinách je zemný stav označený # # E_1 - tu to označujeme # # E_0 - teda zmena). teda

# <E> = (1/6 krát 1 + 1/3 krát 4 + 1/2 krát 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Poznámka:

Zatiaľ čo jednotlivé energetické vlastné funkcie sa vyvíjajú v čase tým, že zachytávajú fázový faktor, celkovú vlnovú funkciu nie líši sa od počiatočného len fázovým faktorom - preto už nie je stacionárnym stavom.
Zapojené integrály boli podobné

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} krát int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

a tieto vyzerajú ako časovo závislé. Jediné integrály, ktoré prežijú, sú však tie, pre ktoré sú # I = j # - a to sú presne tie, pre ktoré sa časová závislosť ruší.
Posledné výsledky sú v súlade so skutočnosťou, že #hat {H} # je zachovaná - aj keď štát nie je stacionárny stav - hodnota očakávanej energie je nezávislá od času.
Pôvodná funkcia vĺn je už normalizovaná, pretože # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # a táto normalizácia je zachovaná v časovom vývoji.
Ak by sme použili štandardný kvantový mechanický výsledok, mohli by sme znížiť množstvo práce - ak je funkcia vlny rozšírená vo forme #psi = sum_n c_n phi_n # kde # # Phi_n sú vlastnými funkciami hermitovského operátora #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, potom # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, za predpokladu, že štáty sú správne normalizované.