Otázka # ecc3a

odpoveď:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

vysvetlenie:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

odpoveď:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

vysvetlenie:

Kedykoľvek máme v menovateli kvadratickú hodnotu a nie #X#v čitateli, chceme získať integrál do nasledujúceho formulára:

#int 1 / (1 + t ^ 2) d = tan ^ -1 (t) + C #

V našom prípade to môžeme urobiť vyplnením námestia a následným nahradením.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Chceme zaviesť u-substitúciu tak, aby:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Môžeme to vyriešiť #X# zistiť, čo táto substitúcia musí byť:

# X + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2U-1/2 #

Integrovať s ohľadom na # U #, násobíme derivátom #X# vzhľadom na. t # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4)

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) d = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) = =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Teraz môžeme vyriešiť # U # z hľadiska #X# na zastupovanie:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

To znamená, že naša posledná odpoveď je:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #