odpoveď:
Nemyslím si, že táto rovnica je platná. Predpokladám #abs (z) # je funkcia absolútnej hodnoty
vysvetlenie:
Skúste s dvomi výrazmi, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
z toho dôvodu
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Možno máte na mysli nerovnosť trojuholníka pre zložité čísla:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Môžeme to skrátiť
# | sum z_i | le sum | z_i |
kde sú sumy #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Skutočná časť nie je nikdy väčšia ako veľkosť. nechať # Z = x + iy # pre niektoré skutočné #X# a # Y #, jasne # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # a berúc odmocniny # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #, Veľkosť je vždy pozitívna; #X# môže alebo nemusí byť; v žiadnom prípade to nie je nikdy viac ako veľkosť.
Budem používať overbar pre konjugát. Tu máme reálne číslo, štvorcovú veľkosť, ktorá sa rovná produktu konjugátov.Trik je v tom, že sa rovná vlastnej reálnej časti. Reálna časť súčtu je súčtom reálnych častí.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Naším lemmatom a veľkosťou produktu, ktorý je súčinom veličín, a veľkosť konjugátov sú rovnaké,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Môžeme zrušiť jeden faktor veľkosti sumy # | sum z_i |, čo je pozitívne, zachováva nerovnosť.
# | sum z_i | le súčet z_i | #
To sme chceli dokázať.
