Aký je význam parciálneho derivátu? Dajte príklad a pomôžte mi stručne pochopiť.

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Dúfam, že to pomôže.

Parciálny derivát je vlastne spojený s celkovou odchýlkou.

Predpokladajme, že máme funkciu # F (x, y) # a chceme vedieť, koľko sa mení, keď zavádzame prírastok ku každej premennej.

Stanovenie nápadov, tvorba #f (x, y) = k x y # chceme vedieť, koľko to je

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

V našom funkčnom príklade máme

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

a potom

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

výberom #dx, dy # svojvoľne malý #dx dy cca 0 # a potom

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ale všeobecne

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

teraz #dx, dy # máme svojvoľne malý

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

tak môžeme vypočítať celkovú variáciu danej funkcie výpočtom čiastkových derivátov #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # a miešanie

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Tu sú množstvá #f_ (x_i) # nazývané parciálne deriváty a môžu byť tiež reprezentované ako

# (čiastočné f) / (čiastočné x_i) #

V našom príklade

#f_x = (čiastočné f) / (čiastočné x) = k x # a

#f_y = (čiastočné f) / (čiastočné y) = k y #

POZNÁMKA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Na doplnenie vyššie uvedenej Cesareovej odpovede uvediem menej matematicky prísnu úvodnú definíciu.

Parciálny derivát, voľne povedané, nám hovorí, koľko sa zmení funkcia s viacerými premennými keď drží iné premenné konštantné, Predpokladajme napríklad, že sme dali

#U (A, t) = A ^ 2 t #

Kde # U # je funkčnosť (šťastie) konkrétneho produktu, # A # je množstvo produktu a. t # T # je čas, na ktorý sa produkt používa.

Predpokladajme, že spoločnosť, ktorá vyrába produkt, by chcela vedieť, o koľko viac úžitku sa z neho môžu dostať, ak by predĺžili životnosť produktu o 1 jednotku. Čiastočná derivácia oznámi spoločnosti túto hodnotu.

Parciálny derivát je všeobecne označovaný deltou gréckeho písmena (# Čiastočné #), ale existujú aj iné zápisy. Budeme používať # Čiastočné # na Teraz.

Ak sa snažíme zistiť, koľko sa zmení užitočnosť produktu s časovým zvýšením o 1 jednotku, počítame čiastočnú deriváciu utility s ohľadom na čas:

# (Partial) / (partialt) #

Na výpočet PD, držíme ostatné premenné konštantné, V tomto prípade sa správať # A ^ 2 #, druhá premenná, ako keby to bolo číslo. Pripomeňme z úvodného počtu, že derivácia konštantných časov premenná je len konštanta. Je to tá istá myšlienka tu: (parciálna) derivácia # A ^ 2 #, konštantné časy # T #, premenná je len konštanta:

# (Partial) / (partialt) = A ^ 2 #

Takže 1 jednotka zvyšuje čas výroby produktu # A ^ 2 # viac užitočnosti. Inými slovami, výrobok sa stáva uspokojivejším, ak sa môže používať častejšie.

O parciálnych derivátoch sa dá veľa povedať, v skutočnosti, celé vysokoškolské a postgraduálne kurzy môžu byť venované riešeniu len niekoľkých typov rovníc zahŕňajúcich parciálne derivácie - ale základná myšlienka je, že čiastočná derivácia nám hovorí, koľko je zmeny, keď ostatné zostanú nezmenené.