Ako sa používa binomická séria na rozšírenie sqrt (1 + x)?

odpoveď:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = súčet (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # s #x v CC #

Použite zovšeobecnenie binomického vzorca na komplexné čísla.

vysvetlenie:

Na komplexné čísla existuje zovšeobecnenie binomického vzorca.

Zdá sa, že všeobecný vzorec binomického radu je # (1 + z) ^ r = súčet ((r) _k) / (k!) Z ^ k # s # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (podľa Wikipédie). Aplikujme to na váš výraz.

Je to tak mocná séria, takže ak chceme mať šance, že sa to nezmení, musíme si to nastaviť #absx <1 # a toto je spôsob, akým expandujete #sqrt (1 + x) # s binomickým radom.

Nebudem demonštrovať, že vzorec je pravdivý, ale nie je to príliš ťažké, stačí vidieť, že komplexná funkcia definovaná # (1 + z) ^ r # je holomorphic na disku jednotky, vypočítať každý derivát z toho na 0, a to vám dá Taylorov vzorec funkcie, čo znamená, že môžete vyvinúť ako mocenské rady na jednotkovom disku, pretože #absz <1 #, preto výsledok.