Aké sú hodnoty pre k, pre ktoré int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

a

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # ale

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # a

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # tak

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

alebo

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (K-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

potom konečne

reálne hodnoty #k = {-2,2} #

komplexných hodnôt #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

odpoveď:

# k = + - 2 #

vysvetlenie:

Vyžadujeme:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrácia získame:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 farba (biela) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Za predpokladu, že #k v RR # (v skutočnosti sú #6# korene, #4# z ktorých sú komplexné)

Teraz, v závislosti od kontextu problému, by sa dalo argumentovať #K <2 # (tj # K = -2 #) je neplatná ako #K> = 2 # aby vnútorné riešenie „vlastného“ vylúčilo toto riešenie, ale bez akéhokoľvek kontextu je rozumné zahrnúť obe riešenia.

Všimnite si to #K = + - 2 # ukázali ako riešenia bez toho, aby skutočne vykonali akúkoľvek integráciu.

Po prvé, vlastnosť určitých integrálov je, že:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

tak môžeme okamžite založiť # K = 2 # je riešenie.

Po druhé, # X ^ 5 # je zvláštny funkcie a nepárne funkcie spĺňajú:

# f (-x) = f (x) #

a majú rotačnú symetriu o pôvode. ako také, ak # F (x) # je nepárny:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

tak môžeme okamžite založiť # K = -2 # je riešenie.

Integrácia a následné výpočty však dokazujú, že toto sú jediné riešenia!