Pomer dvoch pozitívnych reálnych čísel je p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2), potom nájdi svoj pomer AM a GM?

odpoveď:

# p / q #.

vysvetlenie:

Nechajte č. byť #x a y, "kde, x, y" v RR ^ + #.

Podľa toho, čo je dané, #X: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "say" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) a y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Teraz AM # A # z # X, y # je, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, a ich

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Je zrejmé, # "požadovaný pomer" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

odpoveď:

# P / q #

vysvetlenie:

Budem používať rovnaký zápis ako v tejto odpovedi. V skutočnosti nie je reálne potrebné toto riešenie (pretože problém už bol vyriešený celkom pekne) - okrem toho, že ilustruje použitie techniky, ktorú veľmi milujem!

Podľa problému

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Použitie komponentov a dividendo (to je obľúbená technika, o ktorej som hovoril vyššie) dostávame

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) znamená #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) znamená #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) znamená #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 znamená #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• ktorý je požadovaný pomer AM: GM.