Ako riešite systém x ^ 2 + y ^ 2 = 9 a x-3y = 3?

odpoveď:

Existujú dve riešenia tohto systému: body #(3,0)# a #(-12/5, -9/5)#.

vysvetlenie:

Toto je zaujímavý systém problémov s rovnicami, pretože poskytuje viac ako jedno riešenie pre každú premennú.

Prečo sa to deje, je niečo, čo teraz môžeme analyzovať. Prvá rovnica je štandardný formulár pre kruh s polomerom #3#, Druhá je mierne chaotická rovnica pre riadok. Vyčistené, vyzeralo by to takto:

#y = 1/3 x - 1 #

Takže prirodzene, ak si myslíme, že riešenie tohto systému bude bodom, kde sa čiara a kruh pretínajú, nemali by sme byť prekvapení, keď zistíme, že budú existovať dve riešenia. Jeden, keď linka vstupuje do kruhu, a druhý, keď odchádza. Zobraziť tento graf:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Najprv začneme manipuláciou s druhou rovnicou:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Môžeme to vložiť priamo do prvej rovnice, ktorá sa má vyriešiť # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Táto rovnica má samozrejme dve riešenia. Jeden pre #y = 0 # a ďalšie # 9 + 5y = 0 # čo znamená #y = -9 / 5 #.

Teraz môžeme vyriešiť #X# v každom z nich # Y # hodnôt.

ak # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

ak #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Naše dve riešenia sú teda tieto: #(3,0)# a #(-12/5, -9/5)#, Ak sa pozriete späť na graf, môžete vidieť, že tieto jasne zodpovedajú dvom bodom, na ktorých čiara prešla kruhom.