Prosím, pomôžte mi v tom, ako to urobiť?

odpoveď:

#k = 3 #

vysvetlenie:

Použitie vlastností exponentov, ktoré # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # a # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, máme

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k # #

teda #13!# je deliteľné # 24 ^ k # ak a len vtedy, ak #13!# je deliteľné # 2 ^ (3k) # a je deliteľný # 3 ^ k #.

Môžeme povedať najväčšiu moc #2# ktorým #13!# je deliteľné, ak sa pozrieme na jeho faktory, ktoré sú deliteľné #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Keďže žiadny z podivných faktorov neprináša žiadne faktory #2#, máme

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

kde # M # je nejaké celé číslo, ktoré nie je deliteľné #2#, Ako také to vieme #13!# je deliteľné # 2 ^ (3k) # ak a len vtedy, ak #2^10# je deliteľné # 2 ^ (3k) #, čo znamená # 3k <= 10 #, ako # K # je celé číslo, to znamená #k <= 3 #.

Ďalej sa môžeme pozrieť na ktoré faktory #13!# sú deliteľné #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Ako žiadne iné faktory #13!# prispievať všetkými faktormi #3#, to znamená

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

kde # N # je nejaké celé číslo, ktoré nie je deliteľné #3#, Ako také to vieme #3^5# je deliteľné # 3 ^ k #, čo znamená #k <= 5 #.

Najväčšie nezáporné celé číslo spĺňajúce obmedzenia #K <= 3 # a #K <= 5 # je #3#, čo nám dáva našu odpoveď # K = 3 #.

Kalkulačka to overí #(13!)/24^3 = 450450#, zatiaľ čo #(13!)/24^4=18768.75#