Je známe, že rovnica bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 má jeden skutočný koreň. Dokážte, že rovnica x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nemá žiadne skutočné korene.?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Korene # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # sú

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Korene budú zhodné a skutočné, ak

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

alebo

# A = B # alebo #a = 5b #

Teraz riešenie

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # máme

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Podmienkou pre komplexné korene je

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

teraz #a = b # alebo #a = 5b # máme

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Záverečné, ak # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # má potom skutočné korene # X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # bude mať komplexné korene.

Dáme, že rovnica:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

má jeden skutočný koreň, preto je diskriminačná rovnica nulová:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. A = B #, alebo # a = 5b #

Snažíme sa ukázať rovnicu:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nemá žiadne skutočné korene. To by si vyžadovalo negatívny diskriminátor. Diskriminačným faktorom tejto rovnice je:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Pozrime sa teraz na dva možné prípady, ktoré spĺňajú prvú rovnicu:

Prípad 1: # A = B #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0 #

Prípad 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0 #

Preto sú podmienky prvej rovnice také, že druhá rovnica má vždy negatívny diskriminačný charakter, a preto má komplexné korene (tj žiadne skutočné korene), QED