Použite a) ab) na preukázanie hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Z toho, čo tam poviete, vyzerá to, že to máme urobiť #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #, Vyzerá to, že bez ohľadu na to, kde máte túto otázku, je zmätená definícia # # HatT_L.

Skončíme tým, že to dokážeme

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

poskytuje

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

a nie #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, Ak chceme, aby bolo všetko konzistentné, potom ak #hatT_L = e ^ (- LhatD) #muselo by to tak byť # hatD, hatx = bb (-1) #, Túto otázku som už vyriešil a vyriešil.

Z prvej časti sme ukázali, že pre túto definíciu (to #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

od tej doby #f (x_0 - L) # je vlastným stavom # # HatT_L, bezprostredná forma, ktorá prichádza na myseľ, je exponenciálny operátor # E ^ (LhatD) #, My to chápeme #hatD = + ihatp_x // ℏ #a ukážeme, že je to pravda.

Pripomeňme, že v dôkazoch uvedených v časti 1 sme napísali:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

a to je miesto, kde by sme ho museli používať. Všetko, čo musíme urobiť, je Taylor expanduje exponenciálny operátor a ukázať, že uvedený dôkaz stále platí.

Toto je tu tiež uvedené vo svetlom detaile. Rozšíril som ho, aby bol podrobnejší …

# e ^ (LhatD) = súčet (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = súčet (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Dajte to # L # je konštanta, môžeme ju vyčísliť z komutátora. # # Hatx môže ísť, nie je závislá od indexu. Z tohto dôvodu:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} # #

Navrhli sme to #hatD = ihatp_x // ℏ #a to by dávalo zmysel, pretože vieme, že:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = cancel (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

tak # hatx, hatp_x = iℏ #, To by znamenalo, že tak dlho, ako #hatT_L = e ^ (LhatD) #, môžeme konečne získať definíciu CONSISTENT v oboch častiach problému a získať:

#color (modrá) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = farba (modrá) (1) #

Z toho ďalej rozširujeme komutátor:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Teraz vieme # hatx, hatp_x #, ale nie nevyhnutne # hatx, hatp_x ^ n #, Môžete sa presvedčiť, že

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

a to

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

aby:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) # #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {zrušiť (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - zrušiť (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Uvedomujeme si to # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #, To znamená,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, poskytované #n> = 1 #.

Z toho nájdeme:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

kde ak vyhodnotíte #n = 0 # by ste mali vidieť, že ide na nulu, takže sme to vynechali. Postupujeme:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Tu sa jednoducho snažíme, aby to vyzeralo ako exponenciálna funkcia.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) # #

(skupinové výrazy)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(vyhodnotiť zvonku)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(Ak je # N # začína na nule, # (N-1) #termín sa stáva # N #termín.)

Výsledkom je, že konečne dostaneme:

# => farba (modrá) (hatx “,„ e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = farba (modrá) (- LhatT_L) #

A opäť sa vrátime k pôvodnému komutátoruto znamená

# hatx, hatT_L = -LhatT_L farba (modrá) (sqrt "") #

Nakoniec, ukážme to # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Toto výslovne napíšeme, potom to uvidíme fungovať:

# = farba (modrá) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +.,, - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +.,, #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +.,, #

# = farba (modrá) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

a odvtedy # # HatD vždy dochádza so sebou, # hatD ^ n, hatD = 0 # a preto,

# hatT_L, hatD = 0 # #COLOR (modrá) (sqrt "") #