Ako by ste integrovali int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

odpoveď:

Tento integrál neexistuje.

vysvetlenie:

od tej doby #ln x> 0 # v intervale # 1, e #, máme

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

tu, takže integrál sa stáva

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

náhradka #ln x = u #, potom # dx / x = du # tak

č.

Toto je nesprávny integrál, pretože integrand sa odlišuje na spodnom limite. Toto je definované ako

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

ak existuje. teraz

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

pretože toto sa líši v limite #l -> 0 ^ + #, integrál neexistuje.

odpoveď:

# Pi / 2 #

vysvetlenie:

Integrál # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Náhradník prvý # U = ln (x) # a # "D" u = ("d" x) / x #.

Máme teda

#int_ (x = 1), ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Teraz, náhradník # U = sin (v) # a # "D" u = cos (v) "d" v #.

potom

#int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) d) v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # od tej doby # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Pokračujeme, máme

# V _ (x = 1), ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1), ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #