odpoveď:
Aby bola tretia strana najkratšia, potrebujeme # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (a to # A # a # B # majú rovnaké označenie).
vysvetlenie:
Najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka je vždy prepona. Takže vieme, že dĺžka prepony je # A ^ 2 + b ^ 2. #
Nech je dĺžka neznámej strany # C. # Potom z Pythagorovej vety vieme
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
alebo
# C = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#COLOR (biela), c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#COLOR (biela), c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#COLOR (biela), c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#COLOR (biela), c = a ^ 2-b ^ 2 #
Taktiež požadujeme, aby všetky dĺžky boli pozitívne
- # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 alebo b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 alebo a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> ABSA> absb #
Teraz, pre akýkoľvek trojuholník, najdlhšia strana musieť byť kratšie ako. t súčet ostatných dvoch strán. Takže máme:
#color (biela) (=>) 2ab + "" c farba (biela) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab farba (biela) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," ak b> 0), (a <b "," ak b <0):} #
Ďalej, aby bola tretia strana najmenšia, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
alebo # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # alebo # a-b <sqrt2b # alebo #a <b (1 + sqrt2) #
Kombináciou všetkých týchto obmedzení môžeme vyvodiť, že na to, aby tretia strana bola najkratšia, musíme mať # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb a (a, b <0 alebo a, b> 0).
