Ktorý z nasledujúcich má maximálny počet skutočných koreňov?

odpoveď:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # s #4# skutočné korene.

vysvetlenie:

Všimnite si, že korene:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

sú podmnožinou spojenia koreňov dvoch rovníc:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Všimnite si, že ak jedna z týchto dvoch rovníc má dvojicu skutočných koreňov, tak to urobí aj druhá, pretože majú rovnakú diskrimináciu:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Ďalej si všimnite, že ak #a, b, c # potom všetci majú rovnaké znamenie # ax ^ 2 + b abs (x) + c # bude vždy brať hodnoty tohto znamienka, keď #X# je skutočný. Takže v našich príkladoch, pretože # A = 1 #, môžeme okamžite poznamenať, že:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

nemá žiadne nuly.

Pozrime sa na ďalšie tri rovnice:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => xv {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => xv {-2, 1}:} #

Vyskúšame každé z týchto riešení a nájdeme riešenia #xv {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => xv {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => xv {-1, -2}):} #

Vyskúšaním každého z nich nájdeme všetky riešenia pôvodnej rovnice, t. #xv {-2, -1, 1, 2} #

Alternatívna metóda

Všimnite si, že skutočné korene # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (kde #c! = 0 #) sú pozitívne skutočné korene # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Aby sme zistili, ktorá z uvedených rovníc má najreálnejšie korene, je ekvivalentná zisteniu, ktoré zo zodpovedajúcich bežných kvadratických rovníc má najviac pozitívnych koreňov.

Kvadratická rovnica s dvoma pozitívnymi koreňmi má znaky vo vzore #+ - +# alebo #- + -#, V našom príklade je prvé znamenie vždy pozitívne.

Z uvedených príkladov majú len druhý a tretí koeficienty vo vzore #+ - +#.

Druhú rovnicu môžeme zľavniť # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # pretože jeho diskriminátor je negatívny, ale pre tretiu rovnicu zistíme:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

má dva pozitívne skutočné korene, poddajné #4# korene rovnice # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #