20 cm dĺžka šnúry je narezaná na dva kusy. Jeden z kusov sa používa na vytvorenie obvodu námestia?

odpoveď:

# "Minimálna celková plocha = 10.175 cm²." #

# "Maximálna celková plocha = 25 cm²." #

vysvetlenie:

# "Meno x dĺžka kusu, ktorý má byť štvorcom." #

# "Potom je plocha štvorca" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Obvod trojuholníka je" 20-x "." # #

# "Ak y je jedna z rovnakých strán trojuholníka, potom máme" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => oblasť = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Celková plocha =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2)) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Toto je parabol a minimum pre parabol" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "je" x = -b / (2 * a) ", ak> 0."

# "Maximálne je" x-> oo ", ak> 0."

# "Takže minimum je" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) # #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Celková plocha =" 10.175 "cm²." #

# "Maximálne je buď x = 0 alebo x = 20." #

# "Skontrolujeme oblasť:" #

# "Keď" x = 0 => "oblasť =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17,157 "cm²" #

# "Keď" x = 20 => oblasť = "5 ^ 2 = 25" cm² # #

# "Maximálna celková plocha je 25 cm²."

odpoveď:

Minimálna plocha je #10.1756# a maximum je #25#

vysvetlenie:

Obvod pravouhlého rovnoramenného trojuholníka strany # A # je # A + A + sqrt2a = A (2 + sqrt2) # a jeho oblasť je # A ^ 2/2 #,

Nech je jeden kus #X# cm. z ktorého vytvoríme pravouhlý rovnoramenný trojuholník. Je zrejmé, že strana pravouhlého rovnoramenného trojuholníka by bola # X / (2 + sqrt2) # a jeho oblasť by bola

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36 až 32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Obvod inej časti šnúry, ktorá tvorí štvorec, je # (20-x) # a ako strana námestia # (20-x) / 4 # oblasti # (20-x) ^ 2/16 # a celková plocha # T # z týchto dvoch je

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Všimnite si to # 3-2sqrt2> 0 #, teda koeficient # X ^ 2 # je pozitívny, a preto budeme mať minimá a môžeme písať # T # ako

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

ako # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # je vždy pozitívny, máme minimálnu hodnotu # T # kedy # X = 11,8596 #.

Všimnite si, že teoreticky neexistuje žiadna maxima pre funkciu, ale ako hodnota #X# leží medzi #0,20#, a kedy # X = 0 #, máme # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

a kedy # X = 20 # kedy # T = 0,1054 (20 až 11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

a teda maximá #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}