odpoveď:
Konverguje k # 1 + i # (na grafickej kalkulačke Ti-83)
vysvetlenie:
nechať # S = sq {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} # #
Po prvé, za predpokladu, že táto nekonečná séria konverguje (t.j. za predpokladu, že existuje S a má hodnotu komplexného čísla), # S ^ 2 = -2 + 2 sq {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
# S ^ 2 + 2 = 2 sq {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
#rac {S ^ 2 + 2} {2} = sq {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
A ak vyriešite S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
a použitie kvadratického vzorca získate:
{S = frac {2 pm = {{{}} {2} = 2 {2}} {2} = 1 pm i #
Zvyčajne má druhá odmocnina kladnú hodnotu # S = 1 + i #
Ak teda konverguje, musí sa zblížiť # 1 + i #
Teraz všetko, čo musíte urobiť, je dokázať, že konverguje, alebo ak ste leniví ako ja, môžete sa pripojiť # {{}} # do kalkulačky, ktorá zvládne imaginárne čísla a použije vzťah opakovania:
# f (1) = sq {-2} #
# f (n + 1) = sq {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Opakoval som to viackrát na mojom Ti - 83 a zistil som, že sa to priblíži napríklad potom, čo som to opakoval niekde ako 20 krát
# 1,000694478 + 1.001394137i #
celkom dobrá aproximácia
