Čo je Taylorov rad f (x) = arctan (x)?

# F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Pozrime sa na niektoré detaily.

# F (x) = arctanx #

# F '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Pamätajte, že geometrické mocenské rady

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

nahradením #X# podľa # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

takže, # F '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integráciou

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

vložením integrálneho znaku do súhrnu, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

podľa pravidla Power, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

od tej doby # F (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Pravá šípka C = 0 #

Z toho dôvodu, # F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #