Toto je goniometrický dôkaz všeobecného prípadu, otázka je v poli s podrobnosťami?

odpoveď:

Dôkaz indukcie je uvedený nižšie.

vysvetlenie:

Dokážme túto identitu indukciou.

A. Pre # N = 1 # musíme to skontrolovať

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (théta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Použitie identity #cos (2Theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #Vidíme to

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) 1) #

z toho vyplýva

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (théta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Tak pre # N = 1 # naša identita platí.

B. Predpokladajme, že identita je pravdivá # N #

Takže predpokladáme, že

# (2cos (2 ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (jv 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(symbol # # Pi sa používa pre produkt)

C. Na základe predpokladu B vyššie, ukážme identitu # N + 1 #

Musíme dokázať, že z predpokladu B nasleduje

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (jv 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Všimnite si, že pravá hranica pre index násobenia je # N # teraz).

PROOF

Použitie identity #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # pre # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Rozdeľte začiatočné a koncové výrazy podľa # 2cos (theta) 1 #, dostať sa

# 2cos (2 ^ (n + l) theta) +1 / 2cos (théta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 # #

Teraz používame predpoklad B

# 2cos (2 ^ (n + l) theta) +1 / 2cos (théta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (jv 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (jv 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Všimnite si, že rozsah indexu je teraz rozšírený na. t # N #).

Posledný vzorec je presne rovnaký # N + 1 # ako originál # N #, To dopĺňa dôkaz indukciou, že náš vzorec platí pre každého # N #.

odpoveď:

Pozri Dôkaz v časti Vysvetlenie nižšie.

vysvetlenie:

To je rovnocenné s t

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 x 2x) 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# # Vdots

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) 1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Užite si matematiku!