Otázka # bfe81

odpoveď:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

vysvetlenie:

Vieme, že nasledujúce Maclaurin série pre #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / NX ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

Môžeme nájsť sériu #ln (x ^ 2 + 1) # nahradením všetkých #X#s # X ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Teraz sa môžeme len rozdeliť # X ^ 2 # nájsť sériu, ktorú hľadáme:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

# = Sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1), ^ oo (1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = X ^ (2-2) -X ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … = #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

čo je séria, ktorú sme hľadali.