Dokážte sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

odpoveď:

Vo vysvetlení

vysvetlenie:

Na normálnej súradnicovej rovine máme súradnice (1,2) a (3,4) a podobné veci. Tieto súradnice môžeme reexprimovať n v zmysle polomerov a uhlov. Ak teda máme bod (a, b), znamená to, že ideme jednotky vpravo, jednotky B nahor a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ako vzdialenosť medzi pôvodom a bodom (a, b). zavolám #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Takže máme # Re ^ arctan (b / a) #

Aby sme dokončili tento dôkaz, pripomeňme si vzorec.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + izín (theta) #

Funkcia oblúkového opálenia mi dáva uhol, ktorý je tiež theta.

Máme teda nasledujúcu rovnicu:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Teraz môžete nakresliť pravý trojuholník.

Arctan (b / a) mi hovorí, že b je opačná strana a a je susedná strana. Takže ak chcem cos arctanu (b / a), na nájdenie prepony používame Pytagorovu vetu. Prepona je #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #, Takže cos (arctan (b / a)) = priľahlý nad preponou = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Najlepšie na tom je skutočnosť, že táto istá zásada sa vzťahuje na sínus. Takže hriech (arctan (b / a)) = oproti hypotéze = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Takže teraz môžeme znovu vyjadriť našu odpoveď takto: #r * ((A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ale pamätajte #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # takže teraz máme: #r * ((a / r) + (bi / r)) #, R sa zruší a zostanú nasledujúce položky: # A + bi #

Z tohto dôvodu # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #