Otázka # 69feb

odpoveď:

Normálna čiara: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #, Tangentná čiara: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

vysvetlenie:

Pre intuíciu: Predstavte si, že táto funkcia #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # opisuje výšku nejakého terénu, kde #X# a # Y # sú súradnice v rovine a #ln (y) # Predpokladá sa, že ide o prirodzený logaritmus. Potom všetko # (X, y) # takýmto spôsobom # F (x, y) = a # (výška) sa rovná určitej konštante # A # sa nazývajú úrovňové krivky. V našom prípade konštantná výška # A # je nula, pretože # F (x, y) = 0 #.

Možno ste oboznámení s topografickými mapami, v ktorých uzavreté čiary označujú čiary rovnakej výšky.

Teraz je gradient #grad f (x, y) = ((čiastočné f) / (čiastočné x), (čiastočné f) / (čiastkové x)) (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # nám dáva smer v bode # (X, y) # v ktorom # F (x, y) # (výška) sa mení najrýchlejšie. Toto je buď rovno hore alebo rovno dole z kopca, pokiaľ je náš terén hladký (diferencovateľný) a nie sme na vrchole, na dne alebo na plošine (extrémny bod). To je v skutočnosti normálny smer ku krivke konštantnej výšky, takže na # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Preto normálny riadok v tomto smere prechádza # (2, e ^ 2) # môže byť opísaný ako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, kde #s v mathbbR # je skutočný parameter. Môžete odstrániť # S # vyjadriť # Y # ako funkcia #X# Ak chcete, vyhľadajte

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Smerová derivácia v smere dotyčnice musí byť #0# (čo znamená, že výška sa nemení), takže dotyčnica vektor # (U, v) # musí spĺňať

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, kde # # Cdot znamená bodový produkt. tak # (u, v) = (1, e ^ 2) # je jedna platná voľba. Preto dotyčnica prechádzajú # (2, e ^ 2) # môže byť opísaný ako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #tv mathbbR #.

Riešenie pre # Y # dáva to

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Nakoniec by ste to mali skontrolovať # (2, e ^ 2) # leží na krivke # F (x, y) #, na dotyčnici a na normálnej čiare.