odpoveď:
# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #
vysvetlenie:
Oblasť je riešením tohto systému:
# {(Y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
Na tomto grafe je načrtnuté:
Vzorec pre objem pevnej rotácie osi x je:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Ak chcete použiť vzorec, mali by sme preložiť polmesiac na os x, oblasť sa nezmení, a tak sa nezmení ani objem:
# Y = -x ^ 2 + 2x + 3color (červená) (- 3) = - x ^ 2 + 2 #
# Y = 3color (červená) (- 3) = 0 #
Týmto spôsobom získame # F (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Preložená oblasť je teraz vykreslená tu:
Ale ktoré sú a a b integrálu? Riešenia systému:
# {(Y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
tak # a = 0 a b = 2 #.
Prepíšme a vyriešime integrál:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #
A tento "citrón" je získaná pevná látka:
